2013.9.4.수
정의를 설명함. 영어라서, 이미 알고 있는 게 대부분이어서 약간 거부감을 보임. 사실 영어로 된 정의나 공리를 보면 이해가 잘 안 된다.
한글로 정의와, 공리(postulates), common notions 를 번역해 놓은 것은 다음과 같다.
(아래 링크에서는 postulates 를 공준으로 common notions 를 공리로 번역해 놓았지만 postulates 가 공리이므로 약간 수정함.)
Definitions
1. 점은 쪼갤 수 없는 것이다.
2. 선은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.
3. 선의 양 끝은 점들이다.
4. 직선은 점들이 쭉 곧게 있는 것이다.
5. 면은 길이와 폭만이 있는 것이다.
6. 면의 끝은 선들이다.
7. 평면은 직선들이 쭉 곧게 있는 것이다.
8. 평면에 있는 두 선이 서로 만나고, 그들이 한 직선에 놓여 있지 않을 때, 그들이 서로 기운 정도를 각(평면각)이라 부른다.
9. 각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때, 그 각을 직선각(직선으로 만든 각)이라 부른다.
10. 직선에다 다른 한 직선을 세웠을 때, 이웃한 각들이 크기가 서로 같으면 그 각을 직각이라 부른다. 이 때 세운 직선은 원래 직선과 수직이다.
11. 둔각(뭉퉁한 각, 무딘 각)은 직각보다 큰 각이다.
12. 예각(뾰족한 각)은 직각보다 작은 각이다.
13. 둘레(경계)는 어떤 것의 끝이다.
14. 도형(꼴)은 둘레나 둘레들에 둘러싸인 것이다.
15. 어떤 선으로 둘러싼 도형이 있어서, 한 점에서 직선들을 그었을 때 그 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같으면 그 도형을 원이라 부른다.
16. 이 때 그 한 점을 원의 중점(중심)이라 부른다.
17. 원의 지름은 중점을 지나고 양쪽 다 원둘레에서 끝나는 직선을 말한다. 지름은 원을 이등분한다.
18. 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라 부른다. 반원의 중점은 원의 중점과 같다.
19. 다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 세 개의 직선으로 둘러싼 도형이다. 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싼 도형이다.
20. 세 변이 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라 부른다. 두 변이 서로 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라 부른다. 세 변이 모두 다른 삼각형을 부등변 삼각형이라 부른다.
21. 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.
22. 정사각형은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다. 직사각형은 각이 모두 직각인 사각형이다. 마름모는 변이 모두 같은 사각형이다. 평행사변형은 마주 보는 변들이 서로 평행한 사각형이다. 이들 이외의 사각형들을 부등변 사각형이라 부른다.
23. 평행선이란 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 아무리 길게 늘여도 양쪽 어디에서도 만나지 않는 직선들을 말한다.
너무나도 당연해서, 증명이 따로 필요하지 않은 사항을 바로 공리와 공준이라고 한다. 어쩌면 이 부분이 수학의 근원과도 가깝다고 할 수가 있다.
Common Notions
1. 같은 것에 같은 것은 서로 같다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 서로 같다.
3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 나머지는 서로 같다.
4. 서로 겹치는 둘은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.
Postulates
1. 임의의 점으로부터 다른 임의의 점에 대해 직선을 그을수 있다.
2. 유한의 직선을 계속 곧은 선으로 연장할 수 있다.
3. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 하나의 직선이 두 직선과 만나고 같은 쪽에 두 직각보다 작은 각을 만들 때, 이 두 직선을 한 없이 연장하면 두 직각보다 작은 각이 만들어지는 쪽에서 두 직선이 만난다.
(앞서 언급한 것처럼 이 다섯 번째 공준이 비유클리드 기하학을 만들어낸다..)
[출처] 유클리드 기하학 원론 - 공리와 공준과 23가지 정의 -|작성자 상자